Question

12．國家AAAAA級(jí)八里河風(fēng)景區(qū)五一期間舉辦“管仲杯”投擲飛鏢比賽．每3人組成一隊(duì)，每人投擲一次．假設(shè)飛鏢每次都能投中靶面，且靶面上每點(diǎn)被投中的可能性相同．某人投中靶面內(nèi)陰影區(qū)域記為“成功”（靶面正方形ABCD如圖所示，其中陰影區(qū)域的邊界曲線近似為函數(shù)y=Asinx的圖象）．每隊(duì)有3人“成功”獲一等獎(jiǎng)，2人“成功”獲二等獎(jiǎng)，1人“成功”獲三等獎(jiǎng)，其他情況為鼓勵(lì)獎(jiǎng)（即四等獎(jiǎng)）（其中任何兩位隊(duì)員“成功”與否互不影響）．
（Ⅰ）求某隊(duì)員投擲一次“成功”的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為某隊(duì)獲獎(jiǎng)等次，求隨機(jī)變量X的分布列及其期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答；
（Ⅱ）明確X的取值，分別求出隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，列出分布列，求期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：S_矩形=10×10=100，${S}_{陰影}=2{∫}_{0}^{π}5sinxdx$=20，
記某隊(duì)員投擲一次“成功”事件為A，
則P（A）=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{矩形}}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$…．（5分）
（Ⅱ）因?yàn)閄為某隊(duì)獲獎(jiǎng)等次，則X取值為1、2、3、4．
$P（X=1）=C_3^3{（{\frac{1}{5}}）^3}•{（1-\frac{1}{5}）^0}=\frac{1}{125}$，P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（1-\frac{1}{5}）=\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}\frac{1}{5}（1-\frac{1}{5}）^{2}=\frac{48}{125}$，P（X=4）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{1}{5}）^{3}=\frac{64}{125}$…．（9分）
即X分布列為：

X	1	2	3	4
P（X）	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

…（10分）
所以，X的期望EX=1×$\frac{1}{125}$+2×$\frac{12}{125}$+3×$\frac{48}{125}$+4×$\frac{64}{125}$=$\frac{17}{5}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了幾何概型的運(yùn)用以及隨機(jī)變量的分布列和期望．