Question

4．若以橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸端點(diǎn)B（0，1）為直角頂點(diǎn)作橢圓內(nèi)接等腰直角三角形，問這樣的三角形能不能做？若能做，可做多少個(gè)？

Answer 1

分析 設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1，由此判斷是否存在內(nèi)接等腰直角三角形．

解答 解：設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，
故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），
則BC邊所在直線的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，消去y，可得x=0或x=-$\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
得A（-$\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{1-{a}^{2}{k}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$），
∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{2k{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}）^{2}+（-\frac{2{a}^{2}{k}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，
用-$\frac{1}{k}$代替上式中的k，得|BC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}+{a}^{2}}$，
由|AB|=|BC|，得|k|（a²+k²）=1+a²k²
∵k＜0，∴（k+1）（k²+k（a²-1）+1）=0，
對(duì)k²+（k（a²-1）+1=0的判別式△=（a²-1）²-4=（a²-3）（a²+1），
若△=0，則a=$\sqrt{3}$，解得k=-1；
若△＜0，即0＜a＜$\sqrt{3}$，則k²+（k（a²-1）+1=0無實(shí)數(shù)解；
若△＞0，即a＞$\sqrt{3}$，則k²+k（a²-1）+1=0的解為k=$\frac{1-{a}^{2}+\sqrt{（{a}^{2}-1）^{2}-4}}{2}$＜0，
或k=$\frac{1-{a}^{2}-\sqrt{（{a}^{2}-1）^{2}-4}}{2}$＜0；
綜上可得當(dāng)0＜a≤$\sqrt{3}$時(shí)，存在一個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形；
當(dāng)a＞$\sqrt{3}$時(shí)，存在三個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．