Question

13．對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x₀）=x₀，則稱(chēng)x₀為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”；若f[f（x₀）]=x₀，則稱(chēng)x₀為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=2x+1，求集合A和B；
（2）求證A⊆B．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=2x+1，要求集合A和B，解出兩個(gè)方程f（x）=x與f[f（x）]=x的根，此兩方程的解集即為集合A和B；
（2）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據(jù)所給“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的定義來(lái)證明．

解答 （1）解：令f（x）=2x+1=x，
解得x=-1，故有A={-1}
由于f[f（x）]=2（2x+1）+1=4x+3，
令4x+3=x，得x=-1，故有B={-1}；
（2）證明：若A=∅，則A⊆B顯然成立；若A≠∅，
設(shè)t∈A，則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過(guò)程中體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．