Question

12．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為$\frac{81}{4}$，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)此等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q，前4項(xiàng)之和為S，前4項(xiàng)之積為P，前4項(xiàng)倒數(shù)之和為M，由等比數(shù)列性質(zhì)推導(dǎo)出P2=（$\frac{S}{M}$）4，由此能求出前4項(xiàng)倒數(shù)的和．

解答 解：∵等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為$\frac{81}{4}$，
∴設(shè)此等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q
前4項(xiàng)之和為S，前4項(xiàng)之積為P，前4項(xiàng)倒數(shù)之和為M，
若q=1，則$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}=9}\\{{{a}_{1}}^{4}=\frac{81}{4}}\end{array}\right.$，無解；
若q≠1，則S=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，M=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{4}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{{q}^{4}-1}{{a}_{1}（{q}^{4}-{q}^{3}）}$，P=a₁⁴q⁶，
∴（$\frac{S}{M}$）4=（a₁²q³）⁴=a₁⁸q¹²，P²=a₁⁸q¹²，∴P2=（$\frac{S}{M}$）4，
∵$S=9，P=\frac{81}{4}$，
∴前4項(xiàng)倒數(shù)的和M=$\frac{S}{\sqrt{P}}$=$\frac{9}{\sqrt{\frac{81}{4}}}$=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前4項(xiàng)倒數(shù)的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．