Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式y(tǒng)=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的最值情形進(jìn)行求解；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并結(jié)合本題條件x∈[0，π]確定該函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
∴y=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1
=

1

2

（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∴y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
令2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，x=kπ+

π

6

，k∈Z．
此時(shí)y有最大值

7

4

．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∵x∈[0，π]，
∴該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于中檔題，重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式及其靈活運(yùn)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，本題解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．