Question

對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x-2）f′（x）≤0，則必有（　　）

• A、f（1）+f（3）≤2f（2）
• B、f（1）+f（3）≥2f（2）
• C、f（1）+f（3）＜2f（2）
• D、f（1）+f（3）＞2f（2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)x分段討論，解不等式求出f′（x）的符號(hào)，判斷出f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值f（1），f（3）與f（2）的大小關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)得到選項(xiàng)．

解答： 解：∵對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），（x-2）f′（x）≤0
∴有

x-2≥0 f′(x)≤0

或

x-2≤0 f′(x)≥0

，
即當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-∞，2]時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2），
∴f（1）＜f（2），f（3）＜f（2）
∴f（1）+f（3）＜2f（2）
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)能判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)單調(diào)遞減．