Question

1．如圖，某公司有一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形空地ABCD，現(xiàn)要在正方形空地中規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域PAQ種植花草，其中P，Q分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠PAQ=$\frac{π}{4}$，其它區(qū)域安裝健身器材，設(shè)∠BAP為θ弧度．
（1）求△PAQ面積S關(guān)于θ的函數(shù)解析式S（θ）；
（2）求面積S的最小值．

Answer 1

分析 方法一：（1）通過(guò)銳角三角函數(shù)的定義及過(guò)點(diǎn)P作AQ的垂線且垂足為E可知$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{cosθ}$，進(jìn)而利用面積公式計(jì)算即得結(jié)論；（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)可知$S（θ）=\frac{1}{{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}}$，進(jìn)而利用三角函數(shù)的有界性即得結(jié)論；
方法二：（1）利用θ分別表示出DQ、QC的值，利用利用面積公式化簡(jiǎn)即得結(jié)論；（2）通過(guò)對(duì)$S（θ）=\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2（1+tanθ）}$變形可知$S（θ）=\frac{1}{2}[（tanθ+1）+\frac{2}{tanθ+1}-2]$，進(jìn)而利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 方法一
解：（1）∵∠BAP=θ，正方形邊長(zhǎng)為1（百米），
∴$AP=\frac{1}{cosθ}$，$AQ=\frac{1}{{cos（\frac{π}{4}-θ）}}$，…（2分）
過(guò)點(diǎn)P作AQ的垂線，垂足為E，則$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{1}{cosθ}$，…（4分）
∴$S（θ）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}•\frac{1}{cosθ}•\frac{1}{{cos（\frac{π}{4}-θ）}}$=$\frac{1}{1+cos2θ+sin2θ}$，其中$θ∈[{0\;，\;\frac{π}{4}}]$…（8分）
（少定義域扣2分）．
（2）∵$S（θ）=\frac{1}{1+cos2θ+sin2θ}$，
∴$S（θ）=\frac{1}{{\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{4}）+1}}$，…（11分）
∴當(dāng)$sin（2θ+\frac{π}{4}）=1$時(shí)，即$θ=\frac{π}{8}$時(shí)，取得最小值為$\sqrt{2}-1$．…（14分）
答：當(dāng)$θ=\frac{π}{8}$時(shí)，面積S的最小值為$\sqrt{2}-1$．…（16分）
方法二
解：（1）∵∠BAP=θ，
∴$DQ=tan（\frac{π}{4}-θ）$，$QC=1-tan（\frac{π}{4}-θ）$，…（2分）
∴$S（θ）=1-\frac{1}{2}tanθ-\frac{1}{2}•\frac{1-tanθ}{1+tanθ}-\frac{1}{2}\frac{2tanθ（1-tanθ）}{1+tanθ}$…（4分）
=$\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2（1+tanθ）}$，$θ∈[{0\;，\;\frac{π}{4}}]$…（8分）（少定義域扣2分）
（2）∵$S（θ）=\frac{{{{tan}^2}θ+1}}{2（1+tanθ）}$，
∴$S（θ）=\frac{1}{2}[（tanθ+1）+\frac{2}{tanθ+1}-2]$…（13分）
當(dāng)$tanθ+1=\sqrt{2}$時(shí)，即$tanθ=\sqrt{2}-1$取得最小值$\sqrt{2}-1$，…（15分）
答：當(dāng)$tanθ=\sqrt{2}-1$時(shí)，面積S的最小值為$\sqrt{2}-1$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查面積計(jì)算、三角函數(shù)等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．