Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，1），$\overrightarrow$=（1，sinxcosx），當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的取值范圍為[1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，根據(jù)x的范圍求出t的范圍，于是$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinx+cosx+sinxcosx，
令sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴t∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sinx+cosx+sinxcosx=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
∴當(dāng)t=1時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$取得最小值1，當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$取得最大值$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$．
故答案為[1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，換元法，二次函數(shù)的最值，是中檔題．