Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的通項公式為（　�。�

• A． a_n=（$\sqrt{2}$）^n-1
• B． a_n=（$\sqrt{2}$）ⁿ
• C． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n}，n為奇數(shù)}\\{（\sqrt{2}）^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$
• D． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{（\sqrt{2}）^{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關系得到$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，即所有的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_na_n+1=2ⁿ，n∈N^*，
∴a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，
兩式相比得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，即數(shù)列中的奇數(shù)項是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
即當n是奇數(shù)時，a_n=（$\sqrt{2}$）^n-1，
偶數(shù)項是以a₂=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則當n是偶數(shù)時，a_n=2（$\sqrt{2}$）^n-1=（$\sqrt{2}$^）n，
故數(shù)列的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{2}）^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{（\sqrt{2}）^{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
故選：D．

點評 本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關系得到$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，是解決本題的關鍵．