4.已知△ABC是邊長為1的正三角形,動(dòng)點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),若$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}<0$,$|\overrightarrow{CM}|=1$,則$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AB}$的取值范圍是[-1,-$\frac{1}{2}$).

分析 以以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立如圖的直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及相應(yīng)向量的坐標(biāo),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式,結(jié)合圓的性質(zhì),條件即可得到計(jì)算得到.

解答 解:以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立如圖的直角坐標(biāo)系,
則A(-$\frac{1}{2}$,0),B($\frac{1}{2}$,0),C(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),設(shè)M(x,y),
由|$\overrightarrow{CM}$|=1,可得x2+(y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$)2=1,
即有-1≤x≤1,①
又$\overrightarrow{AM}$=(x+$\frac{1}{2}$,y),$\overrightarrow{AB}$=(1,0),$\overrightarrow{CM}$=(x,y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AB}<0$,可得x+$\frac{1}{2}$<0,
即有x<-$\frac{1}{2}$,②
由①②可得-1≤x<-$\frac{1}{2}$.
則$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AB}$=x×1+(y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$)×0=x,
則所求范圍為[-1,-$\frac{1}{2}$).
故答案為:[-1,-$\frac{1}{2}$)

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式,同時(shí)考查圓的性質(zhì)和不等式的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合以及利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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