Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，存在唯一一條過(guò)點(diǎn)（1，-1）的直線(xiàn)與函數(shù)y=f（x）的圖象相切．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0），f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$．（ax＞0）．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．對(duì)a分類(lèi)討論：當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出單調(diào)性．
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）．對(duì)a分類(lèi)討論：當(dāng)x∈（a，0）時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出．
（II）當(dāng)a=1時(shí)，假設(shè)存在唯一一條過(guò)點(diǎn)（1，-1）的直線(xiàn)與函數(shù)y=f（x）的圖象相切．f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，切點(diǎn)為T(mén)$（{x}_{0}，ln{x}_{0}-\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}}）$．切線(xiàn)方程為：y+1=$\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}^{2}}$（x-1），把切點(diǎn)T代入可化為lnx₀+$\frac{3}{{x}_{0}}-\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$-1=0，設(shè)g（x）=lnx+$\frac{3}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$-1，（x＞0），只要證明有唯一零點(diǎn)即可．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0），f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$．（ax＞0）．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）．
當(dāng)x∈（a，0）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
（II）證明：當(dāng)a=1時(shí)，假設(shè)存在唯一一條過(guò)點(diǎn)（1，-1）的直線(xiàn)與函數(shù)y=f（x）的圖象相切．
f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，切點(diǎn)為T(mén)$（{x}_{0}，ln{x}_{0}-\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}}）$．
切線(xiàn)方程為：y+1=$\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}^{2}}$（x-1），
把切點(diǎn)T代入可得；$ln{x}_{0}-\frac{{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$+1=$\frac{{（x}_{0}-1）^{2}}{{x}_{0}^{2}}$，化為lnx₀+$\frac{3}{{x}_{0}}-\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$-1=0，（*）
設(shè)g（x）=lnx+$\frac{3}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$-1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{3}}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{3}}$．
∵x＞0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）與（2，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_極大值=g（1）=1＞0，g（x）_極小值=g（2）=ln2+$\frac{1}{4}$＞0．
又$g（\frac{1}{4}）$=$ln\frac{1}{4}$+12-16-1=-ln4-5＜0，由g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
可知：g（x）=0，僅在$（\frac{1}{4}，1）$內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程（*）有且僅有一解，
因此存在唯一一條過(guò)點(diǎn)（1，-1）的直線(xiàn)與函數(shù)y=f（x）的圖象相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類(lèi)討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．