Question

7．已知離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與直線x=2相交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸上方），且|PQ|=2．點(diǎn)A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APQ=∠BPQ．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求四邊形APBQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過橢圓的離心率，設(shè)橢圓方程，利用點(diǎn)在橢圓，求出b²，然后求出橢圓方程．
（Ⅱ）通過∠APQ=∠BPQ，推出k_PA=-k_PB．設(shè)直線PA的斜率為k，得到直線PA：y-1=k（x-2）（k≠0）．與橢圓聯(lián)立，求出A、B坐標(biāo)，設(shè)四邊形APBQ面積為S，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最值，也可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解面積的范圍．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由已知得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{4b}^{2}}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）
由題意可知點(diǎn)P（2，1）在橢圓上，
所以$\frac{4}{{4b}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$．解得b²=2．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$． …（4分）
（Ⅱ）由題意可知，直線PA，直線PB的斜率都存在且不等于0．
因?yàn)椤螦PQ=∠BPQ，所以k_PA=-k_PB．
設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PA：y-1=k（x-2）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+4{y}^{2}=8\\ y-1=k（x-2）\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+16k²-16k-4=0…（1）．
依題意，方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即根的判別式△＞0成立．
即△=64k²（1-2k）²-4（1+4k²）（16k²-16k-4）＞0，
化簡(jiǎn)得16（2k+1）²＞0，解得k$≠-\frac{1}{2}$．
因?yàn)?是方程（1）的一個(gè)解，所以2x_A=$\frac{16{k}^{2}-16k-4}{1+4{k}^{2}}$．
所以x_A=$\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
當(dāng)方程（1）根的判別式△=0時(shí)，k=$-\frac{1}{2}$，此時(shí)直線PA與橢圓相切．

由題意，可知直線PB的方程為y-1=-k（x-2）．
同理，易得x_B=$\frac{8（-{k）}^{2}-8（-k）-2}{1+4{（-k）}^{2}}$=$\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}$．
由于點(diǎn)A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APQ=∠BPQ，
且能存在四邊形APBQ，則直線PA的斜率k需滿足|t|$＞\frac{1}{2}$．
設(shè)四邊形APBQ面積為S，則
${S}_{△APQ}+{S}_{△BPQ}=\frac{1}{2}\left|PQ\right||2-{x}_{A}|$$+\frac{1}{2}\left|PQ\right||{x}_{B}-2|$
=$\frac{1}{2}\left|PQ\right||{x}_{B}-{x}_{A}|$=$|\frac{8{k}^{2}-8k-2}{1+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}+8k-2}{1+4{k}^{2}}|$=$\left|\frac{16k}{1+4{k}^{2}}\right|$
由于|t|$＞\frac{1}{2}$，
故S=$\frac{16\left|k\right|}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{16}{\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|}$
當(dāng)|t|$＞\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|＞4$，可得$0＜\frac{16}{\frac{1}{\left|k\right|}+4\left|k\right|}＜4$，即0＜S＜4．
（此處另解：設(shè)t=|k|，討論函數(shù)f（t）=$\frac{1}{t}+4t$在t∈$（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)的取值范圍．
f′（t）=4-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{4{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，則當(dāng)t$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f′（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增．
則當(dāng)t$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．
所以四邊形APBQ面積S的取值范圍是（0，4）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，基本不等式以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．