Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若直線y=2x與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到a，b，c的方程，結(jié)合c²=a²+b²，和e=$\frac{c}{a}$，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到離心率．

解答 解：由y=2x代入雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
可得x=±$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}$，
由題意可得c=$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-4{a}^{2}}}$，
由c²=a²+b²，
化簡(jiǎn)整理可得c⁴-6a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-6e²+1=0，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$或e²=3-2$\sqrt{2}$（舍去）
即有e=1+$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查聯(lián)立方程求交點(diǎn)的方法，屬于中檔題．