Question

19．已知函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+2{sin^2}\frac{x}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程與對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且a=$\sqrt{3}，f（A）=\frac{3}{2}$，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求sinB+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），求出它的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的單調(diào)增、單調(diào)減區(qū)間；
（3）先求出A的值，再利用正弦、余弦定理與推理求出sinB+sinC的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{6}）+2{sin^2}\frac{x}{2}$
=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+（1-cosx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx+1
=sin（x-$\frac{π}{6}$）+1，
令x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，求得x=kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為（kπ+$\frac{π}{6}$，1），k∈Z；
令x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x=kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z；
同理f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z；
（3）△ABC中，a=$\sqrt{3}，f（A）=\frac{3}{2}$，
∴f（A）=sin（A-$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{3}{2}$，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{3}$或A=π（不合題意，舍去）；
又△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=2；
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=3，
∴b²+c²=bc+3=5；
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴sinB=$\frac{2}$，sinC=$\frac{c}{2}$，
∴sinB+sinC=$\frac{2}$+$\frac{c}{2}$=$\frac{1}{2}$（b+c）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（b+c）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{^{2}{+c}^{2}+2bc}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5+2×2}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了正弦、余弦定理以及三角形的面積計(jì)算問題，是中檔題目．