Question

11．在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}-8ρsin（θ-\frac{π}{3}）+13=0$，已知$A（1，\frac{3π}{2}），B（3，\frac{3π}{2}）$，P為圓C上一點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 求出圓C的直角坐標(biāo)方程、A，B的直角坐標(biāo)和點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值，由此能求出△PAB面積的最小值．

解答 解：∵圓C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}-8ρsin（θ-\frac{π}{3}）+13=0$，
∴${ρ}^{2}-8ρ（sinθcos\frac{π}{3}-cosθsin\frac{π}{3}）+13$=${ρ}^{2}-4ρsinθ+4\sqrt{3}ρcosθ+13=0$，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}x-4y+13=0$，
即${（x+2\sqrt{3}）^2}+{（y-2）^2}=3$．   …（4分）
又∵$A（1，\frac{3π}{2}），B（3，\frac{3π}{2}）$，
∴A（0，-1），B（0，-3），∴AB=2．…（6分）
P到直線AB距離的最小值為$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，…（8分）
所以△PAB面積的最小值為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式的合理運(yùn)用．