Question

8．已知點(diǎn)P（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過(guò)點(diǎn)A（-c，c）（c為橢圓C的半焦距）的直線l與橢圓C相交所得弦恰被點(diǎn)A平分，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)$P（{\frac{a}{2}，\;\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}）$在橢圓上，推出2a²=3b²，結(jié)合b²=a²-c²，求解橢圓C的離心率．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c，推出橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$，判斷點(diǎn)A在橢圓C內(nèi)，設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，通過(guò)韋達(dá)定理求解k即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)$P（{\frac{a}{2}，\;\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}）$在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上
∴$\frac{a^2}{{4{a^2}}}+\frac{{2{a^2}}}{{4{b^2}}}=1$，
∴2a²=3b²…（1分）
∵b²=a²-c²
∴2a²=3a²-3c²
∴a²=3c²…（3分）
∴橢圓C的離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（5分）
（2）顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c
…（6分）
由（1）知b²=3c²-c²=2c²，∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$
即2x²+3y²=6c²，顯然點(diǎn)A在橢圓C內(nèi)…（7分）
設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
橢圓C的方程與直線l的方程聯(lián)立消去y得（3k²+2）x²+6k（k+1）cx+3（k+1）²c²-6c²=0…（8分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-6k（{k+1}）c}}{{3{k^2}+2}}$…（10分）
∵$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-c$，∴$-2c=\frac{{-6k（{k+1}）c}}{{3{k^2}+2}}$∴3k（k+1）=3k²+2
∴$k=\frac{2}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓額綜合應(yīng)用，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．