Question

5．已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（　�。�

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于當(dāng)x≠0時(shí)，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，可得：當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，因此當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性得答案．

解答 解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵當(dāng)x≠0時(shí)，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0．
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，
因此當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∵2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴g（2）＞g（ln2）＞g（$\frac{1}{2}$），
即b＞c＞a，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查了推理能力，是中檔題．