Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-1的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₂的值為$\frac{2012}{4025}$．

Answer 1

分析 由題意和求導(dǎo)公式得f′（x）=2ax，由切線l與直線8x-y+2=0平行求出a的值，代入f（x）求出f（n），再化簡$\frac{1}{f（n）}$利用裂項相消法求出S₂₀₁₂的值．

解答 解：由題意得，f′（x）=2ax，
∵在點A（1，f（1））處的切線l與直線8x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2a=8，解得a=4，
則f（x）=4x²-1，即f（n）=4n²-1=（2n-1）（2n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴S₂₀₁₂=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2×2012-1}-\frac{1}{2×2012+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{4025}$）=$\frac{2012}{4025}$，
故答案為：$\frac{2012}{4025}$．

點評 本題考查裂項相消法求數(shù)列的和，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．