Question

17．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n，前n項(xiàng)和為s_n，且a_n是s_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n，b_n
（2）設(shè)T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，若對(duì)一切正整數(shù)n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．
（3）設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，證明$\frac{1}{B_1}+\frac{1}{B_2}+…+\frac{1}{B_n}＜\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由于a_n是s_n與2的等差中項(xiàng)，可得2a_n=S_n+2，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．由于點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由于$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出T_n；
（3）由B_n=n²，可得$\frac{1}{{B}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$$＜2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，即可證明．

解答 （1）解：∵a_n是s_n與2的等差中項(xiàng)，∴2a_n=S_n+2，即S_n=2a_n-2．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），
化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，a_n=2ⁿ．
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）證明：T_n=$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+$…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{3+2n}{{2}^{n}}$＜3．
∵對(duì)一切正整數(shù)n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，∴c的最小值為3．
（3）證明：B_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，∴$\frac{1}{{B}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$$＜2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴$左＜1+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
$左＜1+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{5}{3}-\frac{2}{2n+1}＜\frac{5}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．