Question

5．已知函數f（x）=x²-10ax+16a²．
（1）求關于x的不等式f（x）≤0的解集；
（2）設a＞0，且當x∈（0，+∞）時，不等式$\frac{f（x）}{x}$＞-2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）△=36a²≥0，當a=0時，不等式f（x）≤0化為x²≤0，即可得出解集；當a≠0時，△＞0，不等式化為（x-2a）（x-8a）≤0，對a分類討論即可得出．
（2）由于a＞0，且當x∈（0，+∞）時，不等式$\frac{f（x）}{x}$＞-2恒成立，可得$（\frac{f（x）}{x}）_{min}$＞-2.$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{16{a}^{2}}{x}$-10a，利用基本不等式的性質即可得出最小值．

解答 解：（1）△=100a²-64a²=36a²≥0，
當a=0時，不等式f（x）≤0化為x²≤0，其解集為{0}；
當a≠0時，△＞0，不等式化為（x-2a）（x-8a）≤0，
當a＞0時，不等式的解集為{x|2a＜x＜8a}；
當a＜0時，不等式的解集為{x|8a＜x＜2a}．
綜上可得：當a=0時，不等式的解集為{0}；
當a＞0時，不等式的解集為{x|2a＜x＜8a}；
當a＜0時，不等式的解集為{x|8a＜x＜2a}．
（2）∵a＞0，且當x∈（0，+∞）時，不等式$\frac{f（x）}{x}$＞-2恒成立，
∴$（\frac{f（x）}{x}）_{min}$＞-2．
∵a＞0，且當x∈（0，+∞）時，$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{16{a}^{2}}{x}$-10a≥2$\sqrt{x×\frac{16{a}^{2}}{x}}$-10a=-2a，當且僅當x=4a時取等號．
∴-2a＞-2，又a＞0，
解得0＜a＜1．
∴a的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關系、基本不等式的性質，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．