Question

9．設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，命題q：a≥0，則p是q的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，則f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，解出即可判斷出關(guān)系．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}+a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
∴2x³+ax²-1≥0，變形為：$a≥-2x+\frac{1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，g（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴a≥$-2×\frac{1}{2}+\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{2}}$=3．
命題q：a≥0，
則p是q的充分不必要條件．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．