Question

19．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C：ρ=$\sqrt{2}$．直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（I）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程和直線l的極坐標(biāo)方程：
（Ⅱ）若直線1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（且不與點(diǎn)A，B重合）．求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）先化成普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程；
（II）求出|AB|，圓心到直線的距離，圓心到直線l的最大距離，即三角形AB邊上的高的最大值．

解答 解：（I）曲線C表示圓心為極點(diǎn)，半徑為$\sqrt{2}$的圓，
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
直線l的普通方程為x-y=1，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=1．
（II）曲線C的圓心到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
圓C的半徑r=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-hxjntlb^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴P點(diǎn)到l的最大距離為d+r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴△PAB的最大面積為$\frac{1}{2}|AB|•（d+r）$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通非常的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．