Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），過F且垂直于x軸的直線在第一象限內(nèi)與雙曲線、雙曲線的漸近線的交點依次為A，B，若A為BF的中點，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)出漸近線方程，將x=c分別代入雙曲線的方程和漸近線方程，求得交點A，B，再由中點坐標公式和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
將x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得A（c，$\frac{^{2}}{a}$）；
將x=c代入漸近線方程可得y=$\frac{bc}{a}$，
可得B（c，$\frac{bc}{a}$），
由A為BF的中點，可得$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{bc}{a}$，
化簡可得c=2b，
即c²=4b²=4（c²-a²），
即有c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的留下來的求法，注意運用聯(lián)立直線方程求得交點和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．