Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示；
（1）求ω，φ；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為（$\frac{π}{3}$，0），求θ的最小值．
（3）對(duì)任意的x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]時(shí)，方程f（x）=m有兩個(gè)不等根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用五點(diǎn)法做函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得θ的最小正值．
（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，求得m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，可得$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}-（-\frac{π}{3}）$，
求得ω=2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{3}$，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）將y=f（x）的圖象向左平移θ（θ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）=2sin[2（x+θ）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2θ-$\frac{π}{3}$）的圖象，
∵y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為（$\frac{π}{3}$，0），∴2•$\frac{π}{3}$+2θ-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，∴θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，故θ的最小正值為$\frac{π}{3}$．
（3）對(duì)任意的x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∵方程f（x）=m有兩個(gè)不等根，結(jié)合函數(shù)f（x），x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]時(shí)的圖象可得，1≤m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用五點(diǎn)法做函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．