Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)在y=kx-1的圖象上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$
• C． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，2}）$

Answer 1

分析 由題意可化為函數(shù)f（x）圖象與y=-kx-1的圖象有且只有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合題意作圖求解即可

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱點(diǎn)在y=kx-1的圖象上，
而函數(shù)y=kx-1關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱圖象為y=-kx-1，
∴f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的圖象與y=-kx-1的圖象有且只有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{xlnx-2x，x＞0}\\{{x^2}+\frac{3}{2}x，x≤0}\end{array}}$的圖象與y=-kx-1的圖象如下，
易知直線y=-kx-1恒過(guò)點(diǎn)A（0，-1），
設(shè)直線AC與y=xlnx-2x相切于點(diǎn)C（x，xlnx-2x），
y′=lnx-1，
故lnx-1=$\frac{xlnx-2x+1}{x}$，
解得，x=1；
故k_AC=-1；
設(shè)直線AB與y=x²+$\frac{3}{2}$x相切于點(diǎn)B（x，x²+$\frac{3}{2}$x），
y′=2x+$\frac{3}{2}$，
故2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1}{x}$，
解得，x=-1；
故k_AB=-2+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
故-1＜-k＜-$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$＜k＜1；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．