Question

5．已知函數(shù)$y={log_a}（{x^2}-ax+\frac{1}{2}）$，對任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂時，滿足$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（1，\frac{3}{2}）$
• B． $（{\frac{3}{2}，+∞}]$
• C． （1，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)$y={log_a}（{x^2}-ax+\frac{1}{2}）$在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．

解答 解：若對任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂時，滿足$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＞0$，
則函數(shù)$y={log_a}（{x^2}-ax+\frac{1}{2}）$在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
由t=${x}^{2}-ax+\frac{1}{2}$在[$\frac{a}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ \frac{a}{2}≤1\\ 1-a+\frac{1}{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈$（1，\frac{3}{2}）$，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．