Question

13．已知$\overrightarrow a$=（1，0），$\overrightarrow b$=（1，2$\sqrt{3}$）．
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a$+$\vec b$的夾角；
（2）已知（$\overrightarrow a$-2$\vec b$）∥（λ$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$），求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可，
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的條件可得到關(guān)于λ的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（1，0）$，$\overrightarrow b=（1，2\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（2，2\sqrt{3}）$，
∴$|\overrightarrow a|=\sqrt{{1^2}+{0^2}}=1$，$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
設(shè)$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角為θ，則$cosθ=\frac{\overrightarrow a•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}{|\overrightarrow a||\overrightarrow a+\overrightarrow b|}=\frac{{（1，0）•（2，2\sqrt{3}）}}{1×4}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的夾角為60⁰．
（2）∵$\overrightarrow a=（1，0）$，$\overrightarrow b=（1，2\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow a-2\overrightarrow b=（-1，-4\sqrt{3}）$，$λ\overrightarrow a+\overrightarrow b=（λ+1，2\sqrt{3}）$．
又∵$（\overrightarrow a-2\vec b）∥（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴$（-1）×2\sqrt{3}-（-4\sqrt{3}）×（λ+1）=0$，
解得：$λ=-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的平行以及向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．