Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$，存在x₁＜x₂＜x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則$\frac{{f（{x_3}）}}{{{x_1}{x_2}^2}}$的最大值為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$的圖象，可得$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{lnx}_{2}}{{x}_{2}}$，（x₂∈（1，e²）），利用導(dǎo)數(shù)法，可得其最大值．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lnx}|，（{0＜x≤{e^2}}）\\{e^2}+2-x，（{x＞{e^2}}）\end{array}$的圖象如下圖所示：

若存在x₁＜x₂＜x₃，使f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），
則x₁•x₂=1，f（x₂）=f（x₃）=lnx₂，
∴$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{lnx}_{2}}{{x}_{2}}$，（x₂∈（1，e²）），
令y=$\frac{lnx}{x}$，x∈（1，e²），
則y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e³），y′＜0，
∴函數(shù)在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，e³）上單調(diào)遞減，
∴x=e時，函數(shù)取得最大值$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{f（{x}_{3}）}{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}$的最大值為$\frac{1}{e}$．
故答案為：$\frac{1}{e}$

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．