Question

8．已知函數(shù)f（x）=log_ax，a＞0，a≠1．
（1）若復(fù)數(shù)z=（a+2i）（1+i）（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，求方程f（x）=-2的根；
（2）若f（x）=log_ax在區(qū)間[1，2]上有最大值1，求不等式f（x-1）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)z=（a+2i）（1+i）（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，可得a=2，結(jié)合對(duì)數(shù)的定義，可得答案；
（2）若f（x）=log_ax在區(qū)間[1，2]上有最大值1，可得a=2，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得答案；

解答 解：（1）復(fù)數(shù)z=（a+2i）（1+i）=（a-2）+（a+2）i…（2分）
因?yàn)閺?fù)數(shù)z是純虛數(shù)
所以a-2=0，a+2≠0，即a=2…（3分）
所以方程f（x）=-2可化為log₂x=-2…（4分）
即x=2^-2=$\frac{1}{4}$，
故方程的根為x=$\frac{1}{4}$…（5分）
（2）因?yàn)閒（x）=log_ax在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)函數(shù)，且f（1）=log_a1=0≠1，…（6分）
故f（2）=log_a2=1，
從而a=2…（8分）
所以原不等式為log₂（x-1）＞0，可化為log₂（x-1）＞log₂1…（9分）
即x-1＞1，故x＞2…（11分）
所以原不等式解集為（2，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)的分類(lèi)，對(duì)數(shù)的定義，最值及其幾何意義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．