Question

16．已知全集S={1，2，3，4，5}，A={x∈S|x²-5qx+4=0}
（1）若∁_SA=S，求q的取值范圍；
（2）若∁_SA中有四個(gè)元素，求∁_SA和q的值；
（3）若A中僅有兩個(gè)元素，求∁_SA和q的值．

Answer 1

分析 利用∁_SA中元素特征，確定方程x²-5qx+4=0解的情況，從而求q．
（1）若∁_SA=S，則A為空集，得到對(duì)應(yīng)方程無解，可以求q；
（2）若∁_SA中有四個(gè)元素，則方程x²-5qx+4=0有兩個(gè)相等實(shí)根，得到根為2，或者一個(gè)根是1，2，3，4，5中的一個(gè)，另一個(gè)根不在S中，此時(shí)方程根在S中的可能值為3，5，求得q；
（3）若A中僅有兩個(gè)元素，則方程x²-5qx+4=0有兩個(gè)不等實(shí)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到q．

解答 解：（1）若∁_SA=S，則A為空集，
所以①x²-5qx+4=0無解，
所以25q²-16＜0，
解得$-\frac{4}{5}＜q＜\frac{4}{5}$；
（2）若∁_SA中有四個(gè)元素，則方程x²-5qx+4=0有兩個(gè)相等實(shí)根，并且此實(shí)根為2，所以（x-2）²=0，所以q=$\frac{4}{5}$，∁_SA={1，3，4，5}；
或者一個(gè)根是1，2，3，4，5中的一個(gè)，另一個(gè)根不在S中，所以此時(shí)方程根在S中的可能值為3，5，
當(dāng)方程一根為3，另一個(gè)根不在S內(nèi)，此時(shí)以q的值為$\frac{13}{15}$；
當(dāng)方程一根為5，另一個(gè)根不在S，此時(shí)q的值為$\frac{29}{25}$；
（3）若A中僅有兩個(gè)元素，則方程x²-5qx+4=0有兩個(gè)不等實(shí)根，并且兩根之積為4，在1，2，3，4，5，中兩個(gè)數(shù)之間為4的只有1，4，所以∁_SA={2，3，5}，q=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合的關(guān)系以及一元二次方程根的個(gè)數(shù)問題；關(guān)鍵是由∁_SA中元素特征確定方程的根．