Question

20．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱(chēng)中心；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且角A滿(mǎn)足f（A）=$\sqrt{3}$+1，若a=3，BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為3，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化簡(jiǎn)f（x），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱(chēng)中心，
（Ⅱ）先求出A，再根據(jù)向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積公式，以及三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（$\frac{π}{4}$+x）+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\sqrt{3}$[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]+sin（$\frac{π}{2}$+2x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
則對(duì)稱(chēng)中心為（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\sqrt{3}$），k∈Z；
（Ⅱ）f（A）=$\sqrt{3}$+1，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$+1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
解得A=$\frac{π}{3}$，
∵|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=3，①，
BC邊上的中線(xiàn)為3，則|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=6，②，
由①②知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{27}{4}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos$\frac{π}{3}$=$\frac{27}{4}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{27}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，向量的加減的幾何意義和向量的數(shù)量積公式，以及三角形的面積公式，屬于中檔題．