Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a-|x-a|，x≥0\\|x+a|-a，x＜0\end{array}$，其中常數(shù)a＞0，給出下列結(jié)論：
①f（x）是R上的奇函數(shù)；
②當(dāng)a≥4時(shí)，f（x-a²）≥f（x）對任意的x∈R恒成立；
③f（x）的圖象關(guān)于x=a和x=-a對稱；
④若對?x₁∈（-∞，-2），?x₂∈（-∞，-1），使得f（x₁）f（x₂）=1，則a∈（$\frac{1}{2}$，1）．
其中正確的結(jié)論有①．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷；
②函數(shù)在（-∞，-a），（a，+∞）上單調(diào)遞減，在（-a，a）上單調(diào)遞增，即可判斷；
③f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，故不正確；
④取a=1，得出f（x₁）f（x₂）=1不恒成立．

解答 解：①設(shè)x＜0，則-x＞0，f（x）=|x+a|-a，f（-x）=a-|-a-x|=a-|x+a|=-f（x），
同理，設(shè)x＞0，則-x＜0，f（x）=a-|x+a|，f（-x）=|-x+a|-a=|x-a|-a=-f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函數(shù)，正確；
②函數(shù)在（-∞，-a），（a，+∞）上單調(diào)遞減，在（-a，a）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)a≥4時(shí)，f（x-a²）≥f（x）對任意的x∈R恒成立，不正確；
③f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，故不正確；
④取a=1，?x₁∈（-∞，-2），f（x₁）∈（0，+∞），x₂∈（-∞，-1），f（x₂）∈（-1，+∞），f（x₁）f（x₂）=1不恒成立，故不正確．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．