Question

20．若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個均值點．例如y=|x|是[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，0是它的均值點．若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個均值點，則lnx₀與$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$的大小關(guān)系是（　　）

• A． lnx₀=$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$
• B． lnx₀≤$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$
• C． lnx₀≥$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$
• D． lnx₀＜$\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$

Answer 1

分析 猜想判斷l(xiāng)nx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，換元轉(zhuǎn)化為h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$，利用導數(shù)證明．

解答 解：由題知lnx₀=$\frac{lnb-lna}{b-a}$，
猜想：lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
證明如下：$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
令t=$\sqrt{\frac{a}}$＞1，原式等價于lnt²＜t-$\frac{1}{t}$，
2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，
令h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$（t＞1），
則h′（t）=$\frac{2}{t}$-1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-$\frac{{（t-1）}^{2}}{t}$＜0，
∴h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜h（1）=0，
得證lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
故選：D．

點評 本題主要是在新定義下考查二次方程根的問題．在做關(guān)于新定義的題目時，一定要先認真的研究定義理解定義，再按定義做題．