Question

12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的面積是$12+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，體積是4．

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，由位置關(guān)系和勾股定理求出各個棱長，由條件和面積公式求出各個面的面積，加起來求出幾何體的表面積，由錐體的體積公式求出幾何體的體積．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱錐，如圖：
且PA⊥平面ABCD，PA=2，
底面是一個直角梯形，AD⊥CD、AD∥BC，BC=CD=2、AD=4，
取AD的中點E，連接BE，則BE∥CD，AE=BE=2，
∴由勾股定理得，AB=PC=BD=2$\sqrt{2}$，PB=$2\sqrt{3}$，PA=2$\sqrt{5}$，
∵PB²=BC²+PC²，PA²=AB²+PB²，∴AB⊥PB，PC⊥BC，
∴幾何體和表面積：
S=$\frac{1}{2}×（2+4）×2+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4$+$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}$
=$12+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×2$×2=4，
故答案為：$12+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$；4．

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積以及表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．