Question

3．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值等于$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m與以線段F₁F₂為直徑的圓O相切，并與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A、B，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$．求k的值．

Answer 1

分析 （I）由△PF₁F₂面積的最大值等于$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$，利用離心率為$\frac{1}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求橢圓E的方程；
（II）由于圓O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，利用直線與圓相切的從要條件得到一個(gè)等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據(jù)$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{2}$建立k的方程求k．

解答 解：（1）由△PF₁F₂面積的最大值等于$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$，
∵離心率為$\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）由直線l與圓O相切，得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴m²=1+k²，
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由直線代入橢圓方程，整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²×$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+km（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²
=$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3{m}^{2}-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{-5-5{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$，
解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了橢圓的基本性質(zhì)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立之后的整體代換設(shè)而不求，還有求解問(wèn)題時(shí)方程的思想．