Question

18．三棱錐P-ABC中，已知∠APC=∠BPC=∠APB=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)M是△ABC的重心，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$=9．則|$\overrightarrow{PM}$|的最小值為2．

Answer 1

分析 為書寫方便，先設(shè)$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$，根據(jù)條件即可得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$+$|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|$+$|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$=18，連接CM，延長(zhǎng)之后交AB的中點(diǎn)D，連接PD，根據(jù)向量加法的幾何意義及重心的性質(zhì)便可得到$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$，從而$|\overrightarrow{PM}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$，求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+18$，由基本不等式可得到${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥18$，從而可得到$|\overrightarrow{PM}|≥2$，這樣即求出了$|\overrightarrow{PM}|$的最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{PB}=\overrightarrow，\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{c}$；
∴根據(jù)已知條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|）=9$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|=18$；
如圖，連接CM并延長(zhǎng)，交AB于D，則D為AB中點(diǎn)；

∴$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PC}）$=$\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}[\frac{1}{2}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）]-\frac{2}{3}\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）$；
∴$|\overrightarrow{PM}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|$；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+18$；
${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，${\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥2|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|$，${\overrightarrow{c}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}≥2|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|$；
∴$2（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}）≥$$2（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|）=36$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}≥18$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}{|}^{2}≥36$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|≥6$；
∴$|\overrightarrow{PM}|≥2$；
∴$|\overrightarrow{PM}|$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量加法、數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，以及基本不等式的應(yīng)用．