Question

11．已知點P是橢圓$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{5}=1$（x≠0，y≠0）上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個焦點，O是坐標原點，若M是以線段PF₁為直徑的圓上一點，且M到∠F₁PF₂兩邊的距離相等，則$|{\overrightarrow{{O}{M}}}|$的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{5}$）
• B． （0，2$\sqrt{2}$）
• C． [$\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$）
• D． （3，2$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 結合橢圓的圖象，當點P在橢圓與y軸交點處時，點M與原點O重合，此時|OM|取最小值0；當點P在橢圓與x軸交點處時，點M與焦點F₁重合，此時|OM|取最大值c=2$\sqrt{2}$，由此能夠得到|OM|的取值范圍．

解答 解：由題意得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{13-5}$=2$\sqrt{2}$，
當P在橢圓的短軸頂點處時，M與O重合，|OM|取得最小值等于0．
當P在橢圓的長軸頂點處時，M與F₁重合，|OM|取得最大值等于c=2$\sqrt{2}$．
由于xy≠0，故|OM|的取值范圍是（0，2$\sqrt{2}$），
故選B．

點評 本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，考查判斷分析能力，屬于中檔題．