Question

11．如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E．
（1）證明：$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）若△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AD•AE，求∠BAC的大�。�

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用同弧所對(duì)圓周角相等與角平分線性質(zhì)，構(gòu)造兩個(gè)三角形相似，從而證明出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）利用三角形的面積公式構(gòu)造出等式，求出sin∠BAC的值，繼而求出∠BAC的大�。�

解答 解：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAE=∠DAC，
又$\widehat{AB}$所對(duì)的圓周角相等，即∠BEA=∠DCA．
∴在△ABE與△ACD中，
∠BAE=∠DAC，∠BEA=∠DCA，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$．
（2）由（1）知$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，所以有AB•AC=AD•AE．
又△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AD•AE=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}AB•ACsin∠BAC$．
∴$sin∠BAC=\frac{π}{2}$，故$∠BAC=\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了通過兩個(gè)角相等證明三角形相似的方法，通過三角形的面積公式構(gòu)造成等式，求解∠BAC的大�。�