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15.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且滿足b=c,\frac{a}=1cosBcosA,若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn),∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2,OB=1,則平面四邊形OACB面積的最大值是( �。�
A.4+534B.8+534C.3D.4+52

分析\frac{a}=1cosBcosA,化為sinC=sinA,又b=c,可得△ABC是等邊三角形,設(shè)該三角形的邊長(zhǎng)為a,則SOACB=12×1×2sinθ+34a2,利用余弦定理、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性即可得出.

解答 解:由a=1cosBcosA,化為sinBcosA=sinA-sinAcosB,
∴sin(A+B)=sinA,
∴sinC=sinA,A,C∈(0,π).
∴C=A,又b=c,
∴△ABC是等邊三角形,
設(shè)該三角形的邊長(zhǎng)為a,則:a2=12+22-2×2×cosθ.
則SOACB=12×1×2sinθ+34a2
=sinθ+34(12+22-2×2cosθ)
=2sin(θ-\frac{π}{3})+\frac{5\sqrt{3}}{4}
當(dāng)θ=\frac{5π}{6}時(shí),SOACB取得最大值\frac{8+5\sqrt{3}}{4}
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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