Question

15．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足b=c，$\frac{a}$=$\frac{1-cosB}{cosA}$，若點O是△ABC外一點，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2，OB=1，則平面四邊形OACB面積的最大值是（　�。�

• A． $\frac{4+5\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$
• C． 3
• D． $\frac{4+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由$\frac{a}$=$\frac{1-cosB}{cosA}$，化為sinC=sinA，又b=c，可得△ABC是等邊三角形，設該三角形的邊長為a，則S_OACB=$\frac{1}{2}$×1×2sinθ+$\frac{3}{4}$a²，利用余弦定理、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性即可得出．

解答 解：由$\frac{a}$=$\frac{1-cosB}{cosA}$，化為sinBcosA=sinA-sinAcosB，
∴sin（A+B）=sinA，
∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）．
∴C=A，又b=c，
∴△ABC是等邊三角形，
設該三角形的邊長為a，則：a²=1²+2²-2×2×cosθ．
則S_OACB=$\frac{1}{2}$×1×2sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²
=sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1²+2²-2×2cosθ）
=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
當θ=$\frac{5π}{6}$時，S_OACB取得最大值$\frac{8+5\sqrt{3}}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性、余弦定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．