Question

19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，且cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求角C的值；
（2）若c=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由cosA與cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA與sinB的值，利用內(nèi)角和定理及誘導公式得到cosC=-cos（A+B），利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入計算求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由c，sinC，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答 解：（1）∵△ABC中，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則C=135°；
（2）∵c=$\sqrt{2}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴由正弦定理$\frac{c}{sinC}$=$\frac{sinB}$得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{5}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{1}{5}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．