Question

4．設(shè)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）的一條對(duì)稱軸為直線x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）求單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上的最值；
（4）如何將sinx圖象變換成y=f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得φ的值．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的增區(qū)間和減區(qū)間．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域、值域，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上的最值．
（4）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈z．
再結(jié)合-π＜φ＜0，可得φ=-$\frac{3π}{4}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈z，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{8π}{8}$，k∈z，
可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{8}$，kπ+$\frac{9π}{8}$]，k∈z．
（3）在[0，$\frac{π}{2}$）上，2x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$），故當(dāng)2x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=sin（ 2x-$\frac{3π}{4}$）取得最小值為-1；
當(dāng)2x-$\frac{3π}{4}$趨于$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）=sin（ 2x-$\frac{3π}{4}$）趨于最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（4）把y=sinx的圖象向右平移$\frac{3π}{4}$個(gè)單位，可得y=sin（x-$\frac{3π}{4}$）的圖象；
再把所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的圖象．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．