Question

2．已知{a_n}是一個等差數(shù)列，{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=4，S₃=21
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{16}{7}$，b_n+1-b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得3×4+$\frac{3×2}{2}$•d=21，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n+1-b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2³ⁿ⁺¹，由此利用疊加法能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答 解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得3×4+$\frac{3×2}{2}$•d=21…（3分）
解得d=3…（4分），
{a_n}的通項公式為a_n=3n+1…（5分）
（2）由（1）得b_n+1-b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2³ⁿ⁺¹…（6分）
當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，…（8分）
∴b_n=2^3n-2+2^3n-5+…+2⁴+$\frac{16}{7}$=$\frac{{2}^{4}[1-{2}^{3（n-1）}]}{1-{2}^{3}}$+$\frac{16}{7}$=$\frac{1}{7}$×2³ⁿ⁺¹（n≥2）…（11分）
∵b₁=$\frac{16}{7}$滿足b_n=$\frac{1}{7}$×2³ⁿ⁺¹，
∴b_n=$\frac{1}{7}$×2³ⁿ⁺¹，n∈N⁺…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意迭代法和疊加法的合理運用．