Question

17．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f（$\frac{3}{4}$B）=1，a+c=2，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
（Ⅱ）由f（$\frac{3}{4}$B）=1可得sin（$\frac{3B}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而可求B=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理可得b=$\frac{1}{sin（A+\frac{π}{6}）}$結(jié)合A的范圍即可得解其取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+2×$\frac{1+cos2x}{2}$-1
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）_min=$\sqrt{2}$…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（$\frac{3}{4}$B）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3B}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1，
∴sin（$\frac{3B}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{3B}{2}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得：b=$\frac{a+c}{sinA+sinC}•sinB=\frac{\sqrt{3}}{sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）}$=$\frac{1}{sin（A+\frac{π}{6}）}$∈[1，2）…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．