Question

10．已知函數(shù)f（x）=1g（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求y=f（x）的定義域；
（2）證明f（x）是增函數(shù)；
（3）當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）=lg（a^x-b^x）有意義，只需a^x-b^x＞0，即$（\frac{a}）^{x}$＞1，結(jié)合a、b的范圍可求出x的取值范圍，從而得到函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)g（x）=a^x-b^x，任取x₂＞x₁＞0，然后計(jì)算，通過化簡(jiǎn)變形，整理可判定符號(hào)，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可即可判斷．
（3）根據(jù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，則命題f（x）恰在（1，+∞）取正值等價(jià)于f（1）=0可得a、b滿足的條件．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，必有a^x-b^x＞0，a＞1＞b＞0
可得$（\frac{a}）^{x}$＞1，解得x＞0，
函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞）；
（2）設(shè)g（x）=a^x-b^x，再設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$-$^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$+$^{{x}_{2}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+（$^{{x}_{2}}$-$^{{x}_{1}}$），
對(duì)于函數(shù)y=a^x為增函數(shù)，y=b^x為減函數(shù)，
∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，$^{{x}_{2}}$-$^{{x}_{1}}$＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
∵y=lgx在（0，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
（3）∵）∵f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴命題f（x）恰在（1，+∞）取正值等價(jià)于：f（1）=0，
∴a-b=1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定和應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．