Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+4．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-4時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，3]上的最大值為$\frac{28}{3}$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）將a=-4代入函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，從而得到m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²+a，
①a≥0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
②a＜0時(shí)，f′（x）=（x+$\sqrt{-a}$）（x-$\sqrt{-a}$），
令f′（x）=0，得x₁=-$\sqrt{-a}$＜0，x₂=$\sqrt{-a}$＞0，
∴x∈（-∞，x₁）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，x∈[m，3]，
f′（x）=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0得x₁=-2，x₂=2，
將x，f′（x），f（x）變化情況列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

由此表可得：f（x）_極大值=f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（x）_極小值=f（2）=-$\frac{4}{3}$，
又f（3）=1＜$\frac{28}{3}$，
故區(qū)間[m，3]內(nèi)必須含有-2，即m的取值范圍是（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題屬于中檔題．