Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，且圖象上相鄰2個(gè)最高點(diǎn)的距離為π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α+$\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω=2，再根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱求得φ的值，可得f（x）的解析式．
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求得cosα的值，可得cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα 的值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）的圖象上相鄰2個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，
可得函數(shù)的周期為$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．
再根據(jù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，可得2×$\frac{π}{2}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
再結(jié)合-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{2}$，f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{3}$cos2x．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=-$\sqrt{3}$cosα=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴cosα=-$\frac{1}{4}$．
再根據(jù) $\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，∴cos（α+$\frac{3π}{2}$）=sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．