Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=2a_n+1，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{n•（a_n+1）}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把原遞推式配方，得到a_n+1+1=2（a_n+1），在說明a₁+1=2≠0后即可得到

an+1+1

an+1

=2．從而說明
數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）中的等比數(shù)列求得an+1=2n，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（3）把a_n+1代入數(shù)列{n•（a_n+1）}，由錯位相減法求其前n項和．

解答： （1）證明：由a_n+1=2a_n+1，得
a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2≠0．
∴

an+1+1

an+1

=2．
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得，an+1=2n．
則an=2n-1；
（3）解：n•（a_n+1）=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{n•（a_n+1）}的前n項和T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ ①
∴2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1 ②
①-②得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．