Question

如圖，邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取EF的中點O，連結OD，OA'，證明EF⊥平面A'OD，即可證明A′D⊥EF；
（2）證明∠A'OD是二面角A'-EF-D的平面角，利用余弦定理，即可求二面角A′-EF-D的余弦值．

解答： （1）證明：取EF的中點O，連結OD，OA'，
因為DE=DF，A'E=A'F，
所以EF⊥OA'，EF⊥OD，
因為OA'∩OD=O，
所以EF⊥平面A'OD，…（3分）
因為A'D?平面A'EF，
所以A'D⊥EF…（4分）
（2）解：由已知，EF⊥OA'，EF⊥OD，
所以∠A'OD是二面角A'-EF-D的平面角．…（5分）
因為OD=

3 3

2

，OA′=

3

2

，A′D=2．
所以cos∠A′OD=

3 4 + 27 4 - 3 4

2• 3 2 • 3 3 2

=

7

9

．
所以所求角的余弦值為

7

9

．…（8分）

點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直的判定是關鍵．