Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA₁上，點(diǎn)F在CC₁上，且AE=F₁C=1．
（Ⅰ）求證：E、B、F、D₁四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）若點(diǎn)G在BC上，BG=

2

3

，點(diǎn)M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面BCC₁B₁；
（Ⅲ）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角大小，求cosθ．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）在DD₁上取一點(diǎn)N使得DN=1，連結(jié)CN，EN，得到四邊形CFD₁N是平行四邊形，四邊形DNEA是平行四邊形，由此能夠證明E，B，F(xiàn)，D₁四點(diǎn)共面．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出△BCF∽△MBG，從而推導(dǎo)出四邊形ABME是矩形，由此能夠證明EM⊥面BCC₁B₁．
（Ⅲ）由已知條件推導(dǎo)出∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角的平面角，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：在DD₁上取一點(diǎn)N使得DN=1，
連接CN，EN，顯然四邊形CFD₁N是平行四邊形，
∴D₁F∥CN．同理四邊形DNEA是平行四邊形，
∴EN∥AD，且EN=AD．又BC∥AD，且AD=BC，
∴EN∥BC，EN=BC，∴四邊形CNEB是平行四邊形．
∴CN∥BE．∴D₁F∥BE．
∴E，B，F(xiàn)，D₁四點(diǎn)共面．…．（5分）
（Ⅱ）證明：∵GM⊥BF，∴△BCF∽△MBG，
∴

MB

BC

=

BG

CF

，即

MB

3

=

2 3

2

．∴MB=1．…．（7分）
∵AE=1，∴四邊形ABME是矩形．∴EM⊥BB₁．…．（8分）
又∵平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁，且EM在平面ABB₁A₁內(nèi)，
∴EM⊥面BCC₁B₁．…．（10分）
（Ⅲ）∵EM⊥面BCC₁B₁，∴EM⊥BF，EM⊥MH，GM⊥BF．
∴∠MHE就是截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角的平面角．…．（12分）
∵∠EMH=90°，∴tanθ=

ME

MH

，ME=AB=3，△BCF∽△MHB．
∴3：MH=BF：1．又∵BF=

22+32

=

13

，
∴MH=

3

13

．∴tanθ=

ME

MH

=

13

．
所以cosθ=

14

14

．…..（14分）

點(diǎn)評：本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．