已知四棱錐SABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面SAB是等邊三角形,側(cè)面SCD是以CD為斜邊的直角三角形,E為CD的中點,M為SB的中點.

(1) 求證:CM∥平面SAE;

(2) 求證:SE⊥平面SAB;

(3) 求三棱錐SAED的體積.


 (1) 取SA的中點N,連接MN,

因為M為SB的中點,N為SA的中點,所以MN∥AB,且MN=AB.

又E為CD的中點,所以CE∥AB,且CE=AB.

所以MN∥CE,且MN=CE,

所以四邊形CENM為平行四邊形,

所以CM∥EN.

又EN平面SAE,CM⊄平面SAE,所以CM∥平面SAE.

(2) 因為側(cè)面SCD是直角三角形,∠CSD為直角,E為CD的中點,所以SE=1.

又SA=AB=2,AE=,所以SA2+SE2=AE2,

則ES⊥SA.

同理可證ES⊥SB.

因為SA∩SB=S,所以SE⊥平面SAB.

(3) ===×××4×1=.


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